湖北省荆门市龙泉北校   钱瑞玲  方芸  448000  

以二次函数为背景的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求很高．

一、预备知识

1．如图1，在平行四边形ABCD中，任意两个顶点所连接而成的线段，要么是平行四边形的边，要么是平行四边形的对角线．例如：连接顶点A、B的线段AB是边，连接顶点A、C的线段AC是对角线．

2．如图2，已知点A（1，2），点B（-1，0），点C（3，1），将线段AB平移至线段CD，使得点A和点C对应，点B和点D对应，求点D的坐标．

 

解析：点A到点C的平移规律是先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，从点的坐标规律来看，横坐标加2，纵坐标减1，所以点B到点D也要作相同的平移变换，则点D的坐标为（-1+2，0-1）即（1，-1）．

 

二、试题呈现、解析及反思

第1题．已知点A（0，3），点P（0，1），点Q（0.8，2.4），在平面内是否存在一点M，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标．

 

第1题解析：当AP为边时，MQ也为边，则AP平行且等于MQ．如图3、图4

∵点A（0，3），点P（0，1） ∴AP=3-1=2 ∴MQ=2  ∵点Q（0.8，2.4） ∴点M₁为（0.8，2.4+2）即（0.8，4.4），点M₂为（0.8，2.4-2）即（0.8，0.4）

当AP为对角线时，MQ也为对角线，则AP与MQ互相平分．如图5

由线段AQ平移到MP的规律可知，点M₃为（0-0.8，3-1.4）即（-0.8，-1.6）．

综上所述，满足条件的点M有3个，它们的坐标分别为点M₁（0.8，4.4），点M₂（0.8，0.4），点M₃（-0.8，-1.6）．

反思：已知三个定点，点A（0，3），点P（0，1），点Q（0.8，2.4），如何确定第四个顶点的位置呢？从预备知识我们知道，可以任意连接两个点，让这两点所连成的线段为平行四边形的边或对角线．不妨连接y轴上的两点A、P，以线段AP为分类标准，若以AP为边，则MQ也为边， AP平行且等于MQ．由AP∥MQ确定点M在点Q的正上方或正下方，再由MQ =AP =2计算出点M的坐标．若以AP为对角线，则点M和点Q应分布在线段AP异侧，点Q在AP的右边，所以点M应在AP的左边，画出草图，根据预备知识2，由线段AQ平移到MP的规律可计算出点M的坐标．

第2题．已知抛物线经过 A(-4,0)， B(0,-4)， C(2,0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

 

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

 

 

第2题解析：（1）；（2）略

（3）当OB为边时，PQ为边，则OB平行且等于PQ．如图6、图7、图8．

设点，点Q（m，-m）∵点 B(0,-4) ∴OB=4  ∴解得

当OB为对角线时，PQ为对角线，则OB与PQ互相平分．如图9．

设点Q（m，-m），由OQ平移到PB的规律可知点P（-m，-4+m），将点P（-m，-4+m）代入，解得

 

综上所述，满足条件的点Q有4个，它们的坐标分别为

 

 

反思：本题不同于第1题，第1题已知三个定点，而本题只有两个定点，点O（0，0），点B（0，-4），如何确定第三个、第四个顶点的位置呢？我们仍然以y轴上的两点O、B所连接的线段OB为分类标准，由于点P、点Q都是动点，所以先设点Q（m，-m）．若以OB为边，则PQ也为边， OB平行且等于PQ．由OB∥PQ可知点P在点Q的正上方或或正下方，则点P的坐标可设为，线段PQ的长度可用坐标之差表示为，再由PQ =OB=4列出方程，算出m的值．若以OB为对角线，则点P和点Q应分布在线段OB异侧，画出草图，根据预备知识2，由线段OQ平移到PB的规律可以设出P（-m，-4+m），再将点P（-m，-4+m）代入，从而计算出点Q的坐标．

第3题．已知抛物线与x轴交于点A（1,0），点B（-3,0），与y轴交于点C（0,3），点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的F点坐标；若不存在，请说明理由．

第3题解析：先求出抛物线解析式为，当AF为边时，CG为边，则AF平行且等于CG．如图10、图11．∵抛物线对称轴为直线x=-1∴点C到对称轴的距离为1 ，∴AF=CG=2×1=2    ∵点A（1,0）∴点；当AF为对角线时，CG为对角线，则AF与CG互相平分．如图12、图 13．

设点F（m，0），由CA平移到FG的规律可设点G为（m+1，-3），将点G代入得

 

反思：第3题类似于第2题，也属于两定两动型，但是已知的两个定点A、C并不在同一坐标轴上，我们不妨仍然以同在x轴上的两点A、F所连的线段为分类标准．若以AF为边时，CG也为边，则AF平行且等于CG．过点C作x轴的平行线，与抛物线的交点就是点G，则点G、C关于抛物线的对称轴直线x=-1对称．将点G的纵坐标3代入解析式，算出点G的横坐标，或直接利用CG的长度为点C到对称轴距离的2倍，求出CG的长为2．再由AF=CG=2以及点F在点A的左边或右边，确定点F的坐标．若以AF为对角线，类似于第2题，先设点F坐标为（m，0），根据平移规律得到点G坐标为（m+1，-3），将点G代入解析式，算出m的值．

 

  

第4题（2015年荆门市中考题）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE 的长及经过O，D，C 三点的抛物线的解析式；

（2）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N 在（1）中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由 ．

第4题解析：（1）（2）略（3）设点N（-2，n） 当以CE为边时， = 1 * GB3 ①点M在点N左边，如图14，由平移规律可知点M为（-6，n+3），将x=-6代入得，．M₁（-6，16） = 2 * GB3 ②点M在点N右边，如图15，由平移规律可知点M为（2，n-3），将x=2代入得，．M₂（2，16）． 当以CE为对角线时，点M是抛物线的顶点，如图16，将x=-2代入得，综上所述，满足条件的点M有3个，它们的坐标分别为M₁（-6，16），M₂（2，16），．

 

反思：第4题还是两定两动型，但这4个点M，N，C，E，没有任何两个点在同一坐标轴上，所以只能以两个定点所连的线段CE为分类标准． 三、方法归纳

 

 

    有关平行四边形的存在性问题，无论是三定一动型，还是两定两动型，关键是确定分类标准，这样才能做到不重复不遗漏．在平行四边形中，任意两个顶点所连接而成的线段，要么是平行四边形的边，要么是平行四边形的对角线．四个顶点中，如果有两点在同一坐标轴上，哪怕其中一点是动点，我们仍然以这两点所连的线段为边或对角线，分两种情况讨论．如第3题，以AF为边或对角线分两类．四个顶点中，如果没有任何两个点在同一坐标轴上，那就以两个定点所连的线段为边或对角线．如第4题，以CE为边或对角线分两类．确定分类标准之后再画草图，确定动点的大概位置，然后利用平移前后点的坐标之间的规律，设出动点的坐标，代入抛物线解析式，计算出点的坐标．